Filosofia e nuovi sentieri

«Mi rappresento il vasto recinto delle scienze come una grande estensione di terreno disseminato di luoghi oscuri e illuminati. Lo scopo delle nostre fatiche deve essere quello di estendere i confini dei luoghi illuminati, oppure di moltiplicare sul terreno i centri di luce. L’un compito è proprio del genio che crea, l’altro della perspicacia che perfeziona» Denis Diderot

Teoremi di coerenza e completezza. Epimenide, Gödel, Hofstadter.

1 Commento

 

> di Vito J. Ceravolo*

Abstract: Completamento dei teoremi di incompletezza di Gödel, grazie alla formalizzazione di un sistema capace di racchiudere sia ciò che è soggetto a valore di verità (vero o falso) sia ciò che è soggetto a non valore di verità (né vero né falso).

Parole chiave: Kurt Gödel; Teorema di incompletezza; Coerenza; Completezza; Enunciati; Dimostrazioni; Paradossi; Sintattica; Semantica; Epimenide; Hofstadter.

1. Introduzione ai Teoremi di coerenza e completezza (1)

Scopo di questo saggio è completare i teoremi di incompletezza di Gödel, anzitutto astraendo il suo primo teorema alla forma linguistica che lo genera:

VALORE DI VERITÀ: L(α=α ∨ ¬α=¬α) → L = 1 ∨ 0
A parole: Se, affermandosi o negandosi, un concetto α coerente con sé =α predica () un linguaggio L allora → quest’ultimo ha un valore di verità che può essere vero 1 o falso 0.

NON VALORE DI VERITÀ: L(α≠α ∧ ¬α≠¬α) → L ≠ 1 ∧ 0
A parole: Se, affermandosi e negandosi, un concetto α che si contraddice da sé ≠α predica un linguaggio L allora → quest’ultimo non ha un valore di verità, non è né vero 1 né falso 0.

In gergo comune: se quando affermo una frase essa si contraddice e si contraddice anche quando la nego, allora la stessa non ha un valore di verità. Mentre ha un valore di verità se non si contraddice almeno in una delle due forme, affermandola o negandola. Naturalmente queste formalità mostrano le possibilità d’interpretazione della frase (affermandola o negandola), non sono la frase in quanto tale; e la loro unione ci restituisce un principio di anticipazione del valore di verità: un metodo infallibile per discriminare, a priori di ogni riscontro con la realtà, gli enunciati con valore di verità (veri o falsi) da quelli senza valore di verità (né veri né falsi). Ma la formalizzazione di questo elemento logico non è il solo ampliamento che andiamo a compiere al fine di completare i teoremi di Gödel. Ma per meglio comprendere, a questo punto, entriamo nel vivo della questione; ben considerando che non sarà la numerazione G gödelliana a essere messa in discussione, bensì la sua interpretazione in luogo della sopra forma e di quanto segue.

2. Regola formale

Chiariamo che la regola formale primogenita sotto cui si svolge questo saggio è la clausola di “sistema coerente”.
ASSIOMA I: Dentro un sistema formale è sufficiente anche una sola contraddizione per infettare l’intero sistema, ove anche da una sola contraddizione segue qualsiasi cosa. Più in generale: in un sistema formalmente incoerente nulla può essere deciso, cosicché anche solo questo “scrivere-leggere” ci costringe ad accettare il presupposto di una sorta di “coerenza formale del sistema”. Assumiamo così questa regola di “coerenza” come necessaria per l’elaborazione di qualsivoglia sistema formale.
ASSIOMA II: Il sistema formale è il sistema delle forme e le forme sono ciò entro cui si contiene la materia. E qui non siamo in grado di immaginare un’esperienza che non sia uno svolgersi fra forme e materie, tanto che il sistema formale, quanto quello materiale, ne è un aspetto rilevante. Ma mentre costruire un sistema materiale ci costringerebbe ad assumere l’infinità della materia esistente, un sistema formale invece ci permette di racchiudere le diverse materie particolari dentro forme generali di appartenenza, fino a congetturare la forma contenente ogni materia.
La regola formale di “coerenza”, quindi, non è propriamente una «regola di fantasia» (Hofstadter 1984, p. 200), appunto perché non nasce dal nulla ma da una deduzione a posteriori dall’esperienza, nella sua forma e materia, e da una deduzione a priori dalla fede nella «ragione in sé» (cfr. Ceravolo 2016) delle cose; da cui appunto la coerenza:

TEOREMA DI DEDUZIONE FORMALE: (assioma I) Dal sistema formale, la sua necessaria coerenza salvo perdita del sistema stesso, (assioma II) laddove accadono le forme.

Da ciò astraiamo la nostra regola iniziale:

REGOLA I: Qualunque sia l’inizio, indipendentemente dal suo valore, determinandolo nel simbolo α siamo formalmente costretti ad accettare la sua coerenza α=α. Quest’ultima è la regola formale primogenita del sistema.

3. Enunciati dimostrabili e indimostrabili

Detta la prima regola formale, trattiamo ora gli enunciati che ci è dato pronunciare da essa. La più semplice delle sue implicazioni, in un sistema coerente, è: se α=α allora α≠¬α. Tale che, in α=α:
– Chiamo “enunciati dimostrabili” tutti quelli ben formati che possono essere ottenuti combinando in forma coerente gli elementi di α e/o di ¬α. Sui quali enunciati si può decidere se sono veri o falsi, poiché con “valore di verità”;
– Chiamo “enunciati non dimostrabili” tutti quelli mal formati che possono essere ottenuti combinando, in forma incoerente, sia gli elementi di α che di ¬α. Sui quali enunciati non si può decidere se sono veri o falsi, poiché con “non valore di verità”.

In gergo comune: gli enunciati ben formati si contengono dentro forme logiche che, in affermazione o in negazione, possono essere dimostrate vere o false; gli enunciati mal formati si contengono dentro forme illogiche che, in affermazione e in negazione, non possono essere dimostrate vere o false. Di enunciati non dimostrabili ce n’è a iosa e sono tutti di un sol tipo: dal paradosso di Epimenide a “Questa frase è falsa” a “L’enunciato che segue è falso. L’enunciato precedente è vero” e via discorrendo. Appunto: enunciati circolarmente contraddittori con sé all’infinito (sia affermandoli che negandoli) e pertanto privi di valore di verità (né veri né falsi). Più particolari sono gli enunciati dimostrabili che sono invece di due tipi: enunciati la cui verità è dimostrabile affermandoli (es. mi chiamo Vito); enunciati la cui verità è dimostrabile negandoli (es. non mi chiamo Vito). I primi si dicono veri, i secondi falsi. E mentre gli enunciati veri lo sono sia materialmente (contenuto) che formalmente (contenitore), gli enunciati falsi possono essere formalmente coerenti ma falsi materialmente (es. non mi chiamo Vito) oppure formalmente incoerenti e conseguentemente falsi materialmente (es. il quadrato è non-quadrato).

Questa trama ci lascia intravedere che tutti gli enunciati hanno una forma in cui vengono espressi e tramite cui riconoscerli; con lo strascico che tutti si generano dallo stesso insieme di regole in cui trovano il loro confronto e comunione: sono le regole formali del sistema a permettere la combinazione di enunciati ben formati secondo valore di verità o mal formati secondo non valore di verità.

REGOLA II: Dalla medesima verità sistemica, si generano stringhe i cui elementi possono essere linguisticamente composti in modo tale da formare enunciati veri o falsi, cioè dimostrabili e decidibili, oppure enunciati né veri né falsi, cioè indimostrabili e indecidibili. I primi rispondono, in positivo o in negativo, a combinazioni coerenti. I secondi, sia in positivo che in negativo, rispondono a combinazioni incoerenti. Dove è la regola primogenita di coerenza a dirci quando una cosa è formalmente coerente o incoerente.

A livello grammaticale, gli enunciati con valore di verità si dicono “modi sensati di esprimersi”, gli altri si escludono da un buon uso grammaticale.

«[Wittgenstein] L’analisi logica al massimo chiarisce la grammatica, ma non modifica il senso […]; riguardo alla dimostrazione di Gödel, lo snobberà affermando che le dimostrazioni di impossibilità portano solo a escludere dalla grammatica determinati modi di esprimersi. Invece dicendo che il suo è un teorema e non un paradosso logico, Gödel vuole insistere sul fatto che, come tutti i teoremi, ha conseguenze positive, creative, non solo segnalazioni di divieti» (Lolli 1992, p. 22).

4. Enunciati chiusi e aperti

Abbiamo finora parlato di un valore determinato α, indipendentemente da quale sia questo valore, il quale ci ha portato a un metodo infallibile per distinguere formalmente gli enunciati dimostrabili (veri o falsi) da quelli indimostrabili (né veri né falsi).
Prendiamo ora la nostra primogenita tautologia α=α e assumiamo che il primo α a sinistra della relazione “=” sia il soggetto, mentre il secondo α a destra della relazione “=” sia il predicato: sostituendo il soggetto α con la variabile x, ne abbiamo x=α; sostituendo il predicato α con la variabile x, ne abbiamo α=x:
– Gli enunciati che sono determinati nel loro soggetto e predicato (α=α) si chiamano enunciati chiusi; detti anche “termini definiti”.
– Gli enunciati che portano almeno una variabile libera nel soggetto o nel predicato (x=α, α=x) si chiamano enunciati aperti; detti anche “termini indefiniti”.

REGOLA III: La forma determinata di un enunciato chiuso ci permette di dire immediatamente se esso ha valore di verità (vero o falso) o non ha tale valore (né vero né falso). La forma indeterminata di un enunciato aperto può sospendere il nostro giudizio su tali valori.

Prendiamo come esempio il soggetto “rotondo” e predichiamolo tramite la variabile “x”: “il rotondo è x”. Certo! La semplicità di questo enunciato ci dice che esso α, qualunque sia la determinazione di x, ha comunque un valore di verità. Per esempio diremo che è falso se “il rotondo è quadrato” mentre diremo che è vero se “il rotondo è rotondo”. Se però ora prendiamo come esempio il soggetto autoriflessivo “questa frase” e attribuiamo al predicato “x” il valore “falso”: “questa frase è falsa”; diremo che l’enunciato non ha un valore di verità (né vero né falso).
Sotto questi esempi, «l’interpretazione di questa stringa [α=x] evidentemente [è vera o falsa o né vera né falsa]; essa esprime una proprietà che il numero [α] potrebbe avere» (Hofstadter 1984., p. 229). Si parla in tal senso di un enunciato aperto. Esattamente: gli “enunciati aperti” sospendono la proprietà di essere interpretati con valore di verità, cioè veri o falsi, in quanto potrebbero essere interpretati anche come “senza valore di verità”, cioè né veri né falsi; in attesa della contestualizzazione delle variabili in gioco. La differenza specifica fra enunciati chiusi e aperti è dunque questa:
– Gli enunciati chiusi hanno un modo per essere detti veri o falsi oppure né veri né falsi;
– Gli enunciati aperti, prima della loro determinazione, contestualizzazione e interpretazione, non hanno necessariamente questo modo, sicché in sospensione possono essere attesi sia come veri che falsi che né veri né falsi.
In entrambi i casi, contestualizzato o meno l’enunciato, questo modo “per potersi dire” è la dimostrazione.

5. Dimostrazioni

In questo capitolo cerchiamo dei criteri tramite cui dimostrare se una cosa è dimostrabile (decidibile) o indimostrabile (indecidibile). Ovvero delle regole, a cui rispondendo, l’enunciato si dice decidibile o indecidibile. Chiaro: dimostrare che una cosa è dimostrabile o indimostrabile, è come razionalizzare che una cosa è razionale o irrazionale, calcolare che una cosa è calcolabile o incalcolabile (2), dire che una cosa è decidibile o indecidibile e, insomma: qualcosa di naturale che accade quotidianamente nelle scienze, nella filosofia e, in generale, nelle intuizioni del vivere. Ma per trovare questi criteri di dimostrazione, chiariamo anzitutto il valore in questione:

REGOLA IV: ∀δ (α=δ ∨ α=¬δ)
A parole: Per ogni dimostrazione δ, una cosa α è dimostrabile δ (decidibile) oppure α è indimostrabile ¬δ (indecidibile).

Nulla di sconvolgente: ciò che è x equivale a ciò che è x e, in negativo, a ciò che è ¬x. Cosicché si possa, secondo il valore di dimostrazione, dimostrare che qualcosa è o non è dimostrabile parimenti a come posso dire “è vero, secondo il valore o non di verità, che qualcosa non è vero né falso”. Un esempio più semplice: “è vero che questo enunciato (es. il paradosso di Epimenide) non ammette alcuna dimostrazione”. Tale per cui: il valore di dimostrazione comprende ciò che è indimostrabile! Similmente a come il valore di verità comprende ciò che è falso. Cosicché il valore di verità è il vero e il falso come il valore di dimostrazione è il dimostrabile e l’indimostrabile. Unendo i due concetti “dimostrazione-verità” se ne colgono le differenze: è dimostrabile che, ciò che è vero o falso è dimostrabile, ciò che è né vero né falso è indimostrabile.

REGOLA V: Se in linea di principio posso o non posso dimostrare una cosa affermandola e/o negandola, allora posso dimostrare la sua dimostrabilità o indimostrabilità di principio.

– Dimostrare qualcosa come vero o falso (valore di verità) significa determinarlo in un numero “finito” di passaggi: il dimostrabile è dimostrabile finitamente vero o falso;
– Dimostrare qualcosa come né vero né falso (non valore di verità) significa non poterlo determinare pur in un numero “infinito” di passaggi: l’indimostrabile è dimostrabile infinitamente né vero né falso.
Se ne ricava un sistema, rispetto al quale, si può dimostrare quali sono gli enunciati finitamente dimostrabili e quali quelli in cui l’oggetto enunciato è indimostrabile all’infinito. Cioè un sistema che ci permette di far entrare in un “insieme” ciò che è dimostrabile vero o falso (dimostrabile), e nel suo corrispondente “non-insieme” ciò che è dimostrabile né vero né falso (indimostrabile) (3). Da cui un principio del terzo escluso per cui: un enunciato ha valore di verità o non ha valore di verità; poiché è vero o è falso che abbia valore di verità. Nel dimostrare che è dimostrabile si ha una dimostrazione della possibilità dell’oggetto enunciato. Nel dimostrare che è indimostrabile si ha una dimostrazione dell’impossibilità dell’oggetto enunciato. Cosicché la dimostrazione si compia verso la dichiarazione di una possibile soluzione o dell’impossibilità della soluzione. E nulla di più, si badi bene: qui non si sta dicendo che l’enunciato è vero o falso, solo che è dimostrabile (vero o falso) o indimostrabile (né vero né falso). Ora è lecita una domanda: con quali passaggi si dimostra che una cosa è dimostrabile o meno, se non coi criteri della dimostrazione stessa? Per eccellenza:

REGOLA VI: La dimostrazione è la totalità degli argomenti fisico-concettuali tramite cui riconosciamo la “verità o falsità” (dimostrabilità) di un enunciato o la sua “né verità né falsità” (indimostrabilità).

Così, quando un problema dà una risposta vera o falsa, esso si dimostra finitamente positivo ai criteri di dimostrabilità. Quando invece dà una risposta né vera né falsa, si dimostra infinitamente negativo a tali criteri.

6. Fatti ed enunciati

Se ci chiediamo ora cosa è soggetto a dimostrazione, rispondiamo che a essere dimostrati non sono propriamente i fatti, i quali semplicemente accadono e per tali hanno già insito nel loro accadere la propria dimostrazione. Tuttalpiù, i fatti abbisognano di essere giustificati.
La dimostrazione si compie invece sugli enunciati per verificare l’effettiva realtà di ciò che enunciano. Tale per cui un enunciato è “vero” o “falso” o “né vero né falso” in misura dell’isomorfismo che ha con la realtà enunciata. Rispettivamente, un enunciato è:
– “Vero” quando l’isomorfismo con la realtà è corretto;
– “Falso” quando l’isomorfismo con la realtà è sbagliato;
– “Né vero né falso” quando l’isomorfismo con la realtà è impossibile all’infinito (4).
In questo senso la forma non necessariamente è sufficiente a dire se un enunciato è vero o falso, giacché, ciò che viene enunciato, per essere vero, necessita in ultimo di avere una corrispondenza con la realtà dell’oggetto enunciato. In tal guisa la forma dell’enunciato è l’anticamera in veritas della materia dell’enunciato:
– La coerenza formale – contenitore – è la dimostrazione logica mediante la quale in primis si distingue un enunciato “vero o falso” da uno “né vero né falso”, in secundis è ciò tramite cui si differenzia un enunciato ben formato e formalmente coerente (vero o falso es. non mi chiamo Vito) da uno ben formato ma formalmente incoerente (falso formale es. il quadrato è non-quadrato);
– La coerenza materiale – contenuto – è la dimostrazione mediante la quale in terzis si distingue un enunciato “vero” da uno “falso”.
Tali coerenze (adeguatezze) (5) e loro distinzioni interne, sono possibili sulle seguenti forme:
– gli enunciati “né veri né falsi” sono infinitamente contraddittori, sia in positivo che in negativo, nella forma sintattica α≠α ∧ ¬α≠¬α. Detti anche “paradossi”;
– gli enunciati “falsi formali”, quelli ben formati ma formalmente incoerenti, sono finitamente contraddittori, in positivo o in negativo, nella forma sintattica α≠α ∨ ¬α≠¬α. Detti anche “contraddizioni logiche”;
– gli enunciati “falsi materiali” e quelli “veri”, sono formalmente coerenti nella forma sintattica α=α, e si differenziano solo nel contenuto semantico α=β: se l’albero α è blu β allora l’enunciato è vero altrimenti è falso. Dove il falso materiale corrisponde all’incoerenza materiale, mentre il vero corrisponde alla coerenza materiale e formale.
Si dice: «il fatto che gli [enunciati] siano veri ci assicura di per sé che essi non si contraddicono tra loro» (Lettera di Frege a Hilbert del 27 dicembre 1899), ma la sola non-contraddizione non ci assicura necessariamente sulla verità laddove anche alcune falsità, prese singolarmente o all’interno di una cerchia incompleta di concetti, possono essere logicamente non contraddittorie (6) e non-autocontraddittorie. Talché, pur avendo conosciuto un metodo formale infallibile per discriminare un enunciato con valore di verità (vero o falso) da uno senza tale valore (né vero né falso), ciononostante la forma dell’enunciato non necessariamente ci dice che tipo di valore di verità l’enunciato abbia (vero o falso?). Ovvero: muore la convinzione di discriminare formalmente tutti gli enunciati veri da quelli falsi, dipendendo quest’ultimi dal riscontro non solo con la forma ma anche con il contenuto. «Teorema di Tarsky-Church-Turing: Non esiste un metodo infallibile per discriminare enunciati veri dell’aritmetica da enunciati falsi» (Hofstadter, p. 606). Mentre la forma, come detto, ci permette di derivare necessariamente solo i giudizi che possono essere detti: “veri o falsi” finitamente coerenti; “né veri né falsi” infinitamente incoerenti; il loro confine “falsi formali” finitamente incoerenti.

REGOLA VII: Si parla di “completezza della Teoria” in senso di regole formali (logica) capaci di discriminare primariamente il “vero o falso” dal “né vero né falso”. Si parla di “completezza dei Dati” in senso di riscontro materiale (contenuto) capace di discriminare definitivamente il “vero” dal “falso”.

Fra le righe: la completezza della teoria consta della completezza sintattica chiarente la grammatica e preservante il valore di verità; la completezza dei dati consta della completezza semantica chiarente il senso e preservante la verità (7). Ove la forma sintattica è riconoscibile mediante una procedura di decisione a terminazione prevedibile; la forma semantica, dentro cui si ha il riscontro materiale, non ha tale prevedibilità.

7. Teoremi ed enunciati

Col subentrare dei dati come “oggetti del reale” in accompagnamento agli enunciati come “oggetti linguistici”: quando questa lingua vuole dimostrare il reale, ne segue dover parlare di una dimostrazione del soggetto che va verso l’oggetto enunciato, il quale, in rigore delle formalità sopradette, può o non può essere dimostrato:

REGOLA V BIS: Il soggetto può porre o non porre la sua dimostrazione su un enunciato che può essere o non essere dimostrato. Nel primo porsi il soggetto dimostra la dimostrabilità dell’oggetto enunciato (valore di verità), nel secondo porsi il soggetto dimostra la indimostrabilità dell’oggetto enunciato (non valore di verità).

Dimostrare che una cosa è dimostrabile o indimostrabile, è possibile solo laddove si differenzi fra soggetto dimostrante e oggetto dimostrato: il soggetto compie la dimostrazione sull’oggetto che è ciò che gli risponde affermandosi come dimostrabile o indimostrabile. Questa differenza ci porta su due livelli di affermazioni differenti:
1) “Enunciato soggetto”. È il livello del sistema dimostrante, con la semplice funziona di comprensione di verità, di denotazione di verità, una mera procedura non ricorsiva di affermazione “È vero che”, un rapporto che va dal sistema dimostrante verso l’oggetto dimostrato. In questo caso il soggetto fa affermazioni sopra l’enunciato.
2) “Enunciato oggetto”. È il livello dell’oggetto dimostrato, con la complessa funzione di “forma e materia di verità”, di connotazione di verità, una mera procedura ricorsiva di descrizione “Cosa è o non-è”, un rapporto che rimane intorno all’oggetto (8) del sistema. In questo caso il soggetto fa affermazioni dentro l’enunciato.
Si sta parlando di rapporti differenti e di un linguaggio con due ordini complementari, uno (a) di carattere non ricorsivo, il linguaggio soggetto posto sopra l’enunciato, l’altro (b) di carattere ricorsivo, il linguaggio oggetto posto dentro l’enunciato. Ove ciò che è ricorsivo è soggetto alla costruzione di ulteriori enunciati, al contrario di ciò che è non ricorsivo. Per questo sistema, quindi, è essenziale riconoscere come differenti il soggetto dimostrante e l’oggetto dimostrato, senza per nulla cancellare la loro reciproca influenza, ma al fine, appunto, di comprendere questa prova di completezza e la sua filosofia poggiante sulla realtà del mondo e di noi, senza erroneamente spostare il baricentro delle ricerche esclusivamente verso il soggetto o l’oggetto:
– (a soggetto dimostrante) È dimostrabile che (b oggetto dimostrato) un enunciato decidibile ha almeno una dimostrazione che può dirlo vero o falso;
– (a) È dimostrabile che (b) un enunciato indecidibile è mancante di dimostrazioni in quanto né vero né falso.
Guardando bene, questi due ordini linguistici (oggetto – soggetto) ci permettono di chiudere la verità di dimostrabilità o indimostrabilità degli enunciati; facendo in modo che l’indecidibile non ci costringa più a uscire dal sistema per poterne affermare la verità. E in questa verità imbattersi in stringhe linguistiche che esprimono proprietà di dimostrabilità o indimostrabilità. Ove, da tale sistema soggetto-oggetto, possiamo andare ora ad appurare non solo che la dimostrabilità o indimostrabilità degli enunciati è vera, ma che tale verità ne fa un teorema del sistema.
Ma attenzione! Se (a) è l’enunciato soggetto e (b) è l’enunciato oggetto, allora la loro separazione non è propriamente un enunciato completo; laddove: nulla può essere enunciato dal soggetto senza l’oggetto enunciato e nessun oggetto può essere enunciato senza il soggetto enunciante. Ciò ci permette di dire che mentre (a) è l’enunciato soggetto e (b) è l’enunciato oggetto, solo la loro unione è il teorema. Dove: l’oggetto non è propriamente un teorema fin quando non gli si attribuisce una verità tramite il soggetto dimostrante, nell’unione teorematica fra oggetto-soggetto. Ovverosia: gli enunciati soggetto separati da quelli oggetto o viceversa, non sono teoremi. Il tutto dentro quel prodotto d’insieme chiamato “Teorema = enunciato soggetto × enunciato oggetto”. Questa unione teorematica ci permette di prendere le distanze da J.R. Lucas (Hofstadter 1984., p. 510), mettendo a regola di questa (a) denotazione e (b) connotazione di verità, non il particolare soggetto (mente umana) od oggetto, bensì ciò che è la loro unione: il sistema. Da cui il nostro proiettarci verso una forma del sistema tramite cui decidere e riconoscere gli enunciati decidibili da quelli indecidibili. Oltre al fatto che, in questo teorema, si parla di una separabilità riconciliata fra soggetto dimostrante e oggetto dimostrato. Una riconciliazione che ci trascina vero la possibilità che gli stessi (soggetto e oggetto) possano combinarsi fra loro nelle forme più bizzarre, pur riconducendosi alla verità del sistema.

8. Schema referenziale

Tra le diverse combinazioni fra soggetto dimostrante e oggetto dimostrato, abbiamo, essenzialmente: l’oggetto in dimostrazione può essere altro dal soggetto dimostrante oppure la stessa cosa. Nel primo caso si hanno enunciati che parlano di altro da sé, che chiamo “referenziali” ad altro, nel secondo caso si hanno enunciati che parlano di sé, detti “autoreferenziali”:
– i “referenziali” possono applicarsi ad altro e applicandosi su altro possono affermarlo o negarlo (es. la mela è commestibile o non è commestibile): α può dimostrare che x = α∨¬α;
– gli “autoreferenziali” possono applicarsi a sé e applicandosi a sé possono solo affermarsi (es. breve è breve): α non può dimostrare di non essere α e assieme non-dimostrare di essere α; previa perdita del valore di verità e di dimostrabilità. Può solo dimostrare di essere α e assieme non-dimostrare di essere ¬α.

Schema referenziale
Referenziali che affermano o negano altro
Enunciato Soggetto: È vero!
Enunciato Oggetto: Questa “frase” ammette dimostrazioni di verità o falsità.
Esempi: Il cibo è commestibile.

Referenziali che affermano o negano ciò che sono
Enunciato Soggetto: È vero!
Enunciato Oggetto: Questa “frase” non ammette alcuna dimostrazione, né vera né falsa.
Esempi: “Commestibile” è commestibile? (9)

Autoreferenziali che affermano ciò che sono
Enunciato Soggetto: È vero!
Enunciato Oggetto: Questa “frase” ammette dimostrazioni di verità.
Esempi: “Esasillabico” è esasillabico?; Questa frase è vera; L’enunciato che segue è vero. L’enunciato precedente è vero.

Autoreferenziali che negano ciò che sono
Enunciato Soggetto: È vero!
Enunciato Oggetto: Questa “frase” non ammette alcuna dimostrazione, né vera né falsa.
Esempi: Questa frase è falsa; L’enunciato che segue è falso. L’enunciato precedente è vero.

La cosa più evidente (11) che si può ricavare da questo schema referenziale è che mentre gli enunciati oggetto possono risultare veri o falsi o né veri né falsi, la loro comprensione con gli enunciati soggetto è un sistema in cui tutte le formule sono vere. E si badi bene:
Col soggetto, operante sopra l’enunciato, non si ha alcuna aggiunta di un nuovo schema di assiomi, bensì la comprensione di verità dell’oggetto operante dentro l’enunciato, una denotazione non ricorsiva di verità: (soggetto) è vero che, (oggetto) è vero o falso o né vero né falso. Esattamente lo schema referenziale ci dice questo:

FORMA REFERENZIALE:
∀(…) 1(valore di verità) ∨ 1(non valore di verità)
A parole: Per ogni contenuto (…), è vero che abbia valore di verità o è vero che non l’abbia.

Corroboriamo codesta possibilità parafrasando l’autorità di Aristotele: dire che una cosa è vera o falsa o né vera né falsa, equivale a dire che è vero che una cosa è vera o falsa o né vera né falsa. Orbene, in cotanto soffio di antichità greca, tutta la potenza originaria del detto “schema referenziale!” capace di ingabbiare tutti gli enunciati dentro il sistema, indipendentemente dal loro valore, ponendoli come teoremi veri del sistema stesso. Tramite questo schema referenziale possiamo pertanto interpretare il sistema in modo che ogni sua formula risulti vera e coerente con le regole del sistema stesso (per coerenza); sennonché in cui ogni formula soggetta al vero sia prodotta dalle regole di tale sistema (per completezza). In questo sistema, infatti, ogni enunciato «reale o meno, possibile o meno, illogico, inconsistente o paradossale» (Poli 1992, p. 271), quando interpretato secondo schema referenziale, diventa un teorema vero senza incoerenza fra sé e la realtà; ove «un sistema formale è coerente se ogni teorema, quando interpretato, diventa un enunciato vero» (Hofstadter 1984, p. 103).

9. Verità teorematica

Quanto rappresentato nel sopra schema referenziale, può essere tradotto, in gergo di dimostrabilità, come segue:

REGOLA VIII: 1(α=δ ∨ α=¬δ)
A parole: È vero 1 che α è dimostrabile δ (valore di verità) o che α è indimostrabile ¬δ (non valore di verità).

Abbiamo così caratterizzato, per via non ricorsiva, un concetto di dimostrabilità per il quale ogni enunciato risulta decidibile tramite le formule di “valore di verità” (α=δ) e “non valore di verità” (α=¬δ) più una predicazione di verità sull’estensione di tale sistema “1(…)”. «[Gödel] riteneva “non impossibile” caratterizzare per via non ricorsiva un nuovo concetto di dimostrabilità per il quale “valga qualche teorema di completezza che asserisca come ogni proposizione esprimibile nella teoria degli insiemi risulti decidibile dagli assiomi attuali più qualche asserzione vera sull’estensione dell’universo insiemistico”» (Bruni 2013). Quindi l’estensione del sistema copre le formule di valore di verità (vero o falso) e non valore di verità (né vero né falso), mentre la verità su tale estensione è la “verità teorematica”:

REGOLA IX: La verità teorematica è la verità 1 non ricorsiva del sistema (…) lanciata sopra ogni enunciato ricorsivo x del sistema stesso; 1(x).

Tale verità teorematica non è altro che la formalizzazione dell’intuizione matematica proposta da Gödel. Come quest’ultima, essa è in grado di riconoscere la verità degli enunciati indecidibili e decidibili, ma al contrario di quest’ultima, essa ha una forma per cui:

REGOLA X: Tutti i decidibili da una parte e tutti gli indecidibili dall’altra, sono già implicati senza ulteriori estensioni nella verità teorematica.

Sotto questa imperitura verità teorematica (non ricorsiva e coprente la dicotomia “valore di verità – non valore di verità”) non abbiamo più bisogno di aggiungere nuovi assiomi per completare il sistema davanti ad un qualsiasi “indecidibile”, giacché ogni indecidibile e decidibile è già considerato nella verità del sistema, ove la verità del sistema si dice “non ricorsiva” perché già coprente ogni enunciato: completa. «[Le proposizioni indecidibili] diventano decidibili con l’aggiunta di tipi superiori e degli assiomi corrispondenti; ciò nonostante nei sistemi di ordine superiore possiamo costruire con lo stesso metodo altre proposizioni indecidibili e così via» (Gödel 1932). La verità del sistema è la verità teorematica, ciò per cui si salvaguardia la coerenza del sistema stesso e la non contraddizione delle sue parti. E sia chiaro: qua nessuna verità è esprimibile che non sia un teorema del sistema e nessun teorema del sistema è mai falso. La conseguenza è fulminea:

REGOLA XI: In virtù della verità teorematica sul valore di verità e non valore di verità, è possibile dimostrare la coerenza (consistenza) di un sistema usando solo i suoi enunciati soggetto-oggetto (12), laddove non esista dimostrazione se non per quella reciprocità fra soggetto dimostrante e oggetto dimostrato. Tant’è: se il sistema è coerente allora esso è sintatticamente completo (13).

10. Coerenza e completezza

Con le formalizzazioni del valore di verità e non valore di verità, con i due ordini linguistici di enunciato oggetto ed enunciato soggetto, con il loro prodotto nel linguaggio sistema, con lo schema referenziale e con la verità teorematica, abbiamo ottenuto una formula valida universalmente in virtù della sua forma logica e indipendentemente dal suo contenuto; dove la verità non trascende la teorematicità del sistema, il quale può dirsi pertanto “coerente”, “completo” e capace di giustificare qualunque interpretazione.
Vediamo i ruoli di questa coerenza e completezza nel sistema:
– un sistema è “coerente” se ogni suo teorema è vero, se posso dimostrare che tutte le sue formule sono vere;
– un sistema è “completo” se ogni teorema vero è espresso dalle regole del sistema.
La coerenza richiede l’assunzione di un numero minimo di enunciati. La completezza richiede invece l’allargamento degli stessi. Mostreremo poi la compatibilità fra coerenza e completezza. Per ora ricapitoliamo quanto detto:

REGOLA XII: Tutte le assiomatizzazioni di un sistema coerente e completo contengono enunciati di cui si può dire “vero” che l’oggetto della loro enunciazione è decidibile o indecidibile.

Talché, se la coerenza del sistema implica come vera la possibilità che un enunciato sia decidibile in finiti passi – dentro il sistema – o indecidibile pur in infiniti passi – anche “oltre” il sistema –, allora ne segue un sistema completo.

REGOLA XIII: L’oggetto enunciato che risponde alla finita dimostrabilità è coerente al sistema, il quale a sua volta è ciò che sta sopra l’enunciato e per cui si dice: “è vero che, l’enunciato è vero o falso”. L’oggetto enunciato che risponde alla “infinita indimostrabilità” è incoerente al sistema, il quale a sua volta è ciò che sta sopra l’enunciato e per cui si dice “è vero che, l’oggetto è né vero né falso”.

Ogniqualvolta si parli di enunciati indimostrabili e indecidibili, bisogna quindi star bene attenti se si sta parlando di un sistema incoerente (α≠α), dove ogni risoluzione è inutile, o di un sistema incompleto, dove alcune risoluzioni stanno fuori dal relativo sistema in esame, oppure di un sistema coerente e completo (α=α) per la cui coerenza sono alcuni enunciati mal formati a essere incoerenti all’infinito sotto ogni sistema, o incompleti in sistemi parziali; non di certo sono incoerenti e incomplete le formule del sistema che difatti li contengono in veritas:

REGOLA XIV: Né l’indecidibile né il decidibile sono in grado di estendere il sistema coerente e completo che già li contiene come sue verità.

Ovvero: tutti gli enunciati, indipendentemente dalla loro verità, falsità o né verità né falsità, sono espressi come notazioni vere del sistema secondo “schema referenziale”.

11. Primo teorema di coerenza e completezza

Siamo finalmente arrivati a un teorema coerente e completo che esprime la verità di ogni sua formula in tal guisa, secondo le regole I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV:

PRIMO TEOREMA DI COERENZA E COMPLETEZZA: In un sistema ω in grado di combinare tutti i suoi elementi α, esiste almeno una combinazione α tale che, se ω è coerente e completo, allora è vero che α’ o la sua negazione ¬α’ sono finitamente dimostrabili “veri o falsi” ed è vero che α’’ e la sua negazione ¬α’’ sono infinitamente dimostrabili “né veri né falsi”.

Qui dunque non si nega che talune combinazioni α siano indimostrabili in ω, bensì si afferma che ω può dimostrare la verità della loro indimostrabilità: la “affermazione indimostrabile in ω” può essere espressa non in ω ma da ω. Dove “ω” è il sistema inteso come unione fra “enunciato soggetto” (con la semplice funzione non ricorsiva di comprensione di verità) ed “enunciato oggetto” (con la complessa funzione ricorsiva di forma e materia di verità). «Il paradosso può essere considerato una dimostrazione che “affermazione falsa in B” non può essere espressa in B» (Gödel 1934). Per cogliere nel dettaglio il sopra teorema, abbiamo da scomporlo nei suoi due elementi portanti: la coerenza e la completezza; e tentarne hic et nunc la formalizzazione:

COERENZA ≡ δ(α) ∨ ¬δ(α) ∈ ω
La coerenza C equivale ≡ al fatto che, l’enunciato α predica la propria dimostrabilità δ o indimostrabilità ¬δ nel ∈ sistema ω;

COMPLETEZZA ≡ α,¬ ∈ ω(δ) (14)
La completezza C equivale ≡ al fatto che, l’enunciato α e negazione ¬ appartengono ∈ alle dimostrazioni δ del sistema ω.

La prima formula è riferita all’osservato “oggetto”; qui infatti la dimostrazione è posta sugli elementi del sistema. La seconda formula è riferita all’osservante “soggetto”; qui infatti la dimostrazione è posta sul sistema degli elementi. La prima ci dice che l’enunciato è dimostrabile (vero o falso) o è indimostrabile (né vero né falso), la seconda ci dice che il sistema è in grado di dimostrare la prima. Cioè: tali formalizzazioni di coerenza e completezza sono equivalenti fra loro, il che le riporta al teorema da cui si sono sciolte, mostrandone la forma:

FORMA DI COERENZA E COMPLETEZZA:
C ≡ δ(α) ∨ ¬δ(α) ∈ ω ≡ α,¬ ∈ ω(δ)
A parole: La coerenza equivale al fatto che l’enunciato è dimostrabile o indimostrabile nel sistema. La sua completezza equivale a dimostrare tale coerenza tramite gli enunciati stessi del sistema. Talché coerenza e completezza, con tutte le loro differenze, sono qui equalizzabili col medesimo simbolo “C” (15).

Si hanno così enunciati ben formati che ammetto decisioni (vero o falso) in un numero finito di passi; ed enunciati mal formati che non ammetto decisioni (né vero né falso) pur in un numero infinito di passi, poiché dimostrati – dal sistema coerente e completo – come circolarmente contraddittori con sé all’infinito. Entrambi (decidibili e indecidibili) sono formule derivabili dal sistema, tutte dimostrabili come verità del sistema coerente e completo. Repetita iuvant: esiste un modo uniforme per decidere se una formula α appartiene alla classe degli enunciati con valore di verità (vero o falso) o a quella senza valore di verità (né vero né falso). Questo modo è rappresentato dalle formalizzazioni riportate in Introduzione e che qui ripeto contratte:
– la formula che asserisce “α è un teorema” è α1 = 1∨0;
– la formula che asserisce “α non è un teorema” è α0 ≠ 1∧0.
Entrambe queste formule si riferiscono all’oggetto (enunciati oggetto) descrivendolo con valore di verità (1∨0) o senza (¬1∧¬0). Ed entrambe esplicitano la loro verità tramite l’unione con gli enunciati soggetto, unendosi, cioè, nella verità teorematica del sistema:
– 1(α1) per cui è vero che α1 è “vero o falso” (16);
– 1(α0) per cui è vero che α0 è “né vero né falso” (17).

In questo caso, “1” è l’enunciato soggetto posto sopra l’enunciato oggetto contenuto dentro le parentesi “(…)”, assieme fanno la formalità del sistema “1(…)” (18). Questo valore 1(…) rappresenta la verità teorematica del sistema. E questo teorema, come prodotto fra enunciato soggetto ed enunciato oggetto, ci consegna la formula matematica “1 × …”, la quale equivale al contenuto “…”. E per quanto ciò sia matematicamente semplice, tale semplicità è comunque implicita in ogni affermazione ed è ciò per cui ogni contenuto viene universalmente riportato alla verità teorematica del sistema. In matematica e sistemi affini basti riportare ogni contenuto sotto l’imput di verità sistemica: “è vero che…”. Una semplicità matematica che ci fa osare dire: «Percepisco (con certezza matematica) che le regole e gli assiomi [di ω] sono corretti, e per di più credo che essi racchiudano tutte le conoscenze matematiche» (Gödel 1951; dove Gödel parla dell’impossibilità di tale “percezione”, qui riammessa dalla verità teorematica non ricorsiva del sistema su base di linguaggio soggetto-oggetto). Ne segue che il “sistema” non è mai la negazione di un “oggetto del sistema”, ma anzi ne è il completamento e affermazione implicita. Si dice: α1,α0 ∈ ω(1). Ovvero: il valore di verità (α1) e il non valore di verità (α0) appartengono (∈) alla verità (1) del sistema (ω).

12. Secondo teorema di coerenza e completezza

Vediamo in ultimo come i decidibili e indecidibili sono già compresi in un sistema coerente e completo; ricordando che la coerenza richiede l’assunzione di un numero minimo di enunciati, mentre la completezza richiede l’allargamento degli stessi.
Questo breve saggio è partito formalizzando la coerenza nel suo minimo enunciato α=α. Da essa abbiamo dedotto gli enunciati dimostrabili e indimostrabili:
– l’enunciato dimostrabile (es. se α=α allora α≠¬α) è dato immediatamente e implicitamente dal sistema coerente (α=α) di cui è verità;
– l’enunciato indimostrabile (es. α≠α ∧ ¬α≠¬α) è dato immediatamente e implicitamente dal sistema coerente (α=α) di cui è verità.
Da ciò si può astrarre la formalità per cui da un solo principio, il primo, si dà ogni conseguente secondo: la completezza; ovvero l’allargamento del primo enunciato verso tutti gli altri, un’anticipazione del “colpo di pistola” hegeliano (20):

TEORIA DEL PRIMO: La Teoria del Primo, coerente e completo e tautologico α=α, è ciò da cui si dà, immediatamente e implicitamente, da sé e in sé, tutta la sua formalità possibile e non: α=α → α≠¬α → ¬(α=¬α) → ¬(α≠α) ecc.

E per quanto queste conseguenze formali e implicite (es. se α=α allora α≠¬α) vengano da noi conosciute mediatamente e conseguentemente dalla teoria del primo, esse sono comunque immediatamente e simultaneamente già comprese in esso e date da esso; come una cascata di teoremi.

SECONDO TEOREMA DI COERENZA E COMPLETEZZA: Se α=α è un teorema di α, allora coerentemente α=¬α è un enunciato falso di α che trova la propria verità teorematica solo presso la negazione di sé ¬(α=¬α), mentre coerentemente un enunciato né vero né falso trova la propria verità teorematica solo presso la propria incoerenza all’infinito. Talché: se α è coerente allora tale coerenza è dimostrabile da sé; completamente.

Si parla in tal senso di una teoria del primo in grado, da un solo principio, di indurre (21) tutte le conseguenze formali in modo sistematico, quindi capace di discernere ciò che è di principio decidibile da ciò che è indecidibile; secondo valore di verità. Cioè una teoria del primo come sistema completo e coerente che comprende in sé, implicitamente e simultaneamente, tutte le verità e nessuna esclusa. Più completamente: tutte le forme e non-forme sono già comprese dal principio α=α, così che tutte le stringe linguistiche (enunciati) derivabili da esso all’infinito, sono teoremi o parte di essi, così che la stringa universale che le riassume tutte è ancora il teorema α=α.
Così, se il posizionamento di α=α dipende in un certo senso dal posizionamento delle sue conseguente implicite α≠¬α ecc, e se ciò che in ultimo riassume tutte le sue implicazioni è ancora se stesso α=α, cioè se l’inizio e la fine coincidono, allora si parla di α=α come pienamente completo: l’autosufficienza. In vero: da una sola verità del sistema, si può dimostrare, dalle formule del sistema stesso, tutto ciò che è vero o falso in merito a quella verità e ciò che, in merito ad essa, non è né vero né falso: ogni verità è causa simultanea e implicita di tutto ciò che è falso in merito ad essa, sicché la verità possa seguire da tutto. Mentre da ciò che è falso non necessariamente si conosce la verità di cui è l’implicita falsità, dacché dal falso può seguire di tutto. Dove ciò che è vero o falso può essere dimostrato come tale. Mentre in “non valore di verità” se ne può dimostrare l’indimostrabilità. Il sistema coerente della teoria del primo α=α diviene così la causa implicita e simultanea di tutto ciò che la teoria comprende immediatamente in sé, da cui la sua completezza. Inversamente diremo che da un sistema incoerente e incompleto α≠α, non si dà e si distingue nulla, neppure queste parole. Se ne conclude che il «principio di identità» α=α, da cui la teoria del primo, è il distinguo fra un rispettoso sistema formalmente coerente e un irrispettoso sistema formalmente incoerente. Da cui teoresi completamente divergenti:
– il sistema coerente e completo è in grado di passare dalla pura astrazione sciolta da ogni pratica a ogni genere di pratica e viceversa;
– il sistema incoerente e incompleto è contraddetto dalla pratica e si contraddice da sé.

Note

(1) Hofstadter assume il ruolo d’interlocutore privilegiato di questo saggio, senza nulla togliere a Kurt Gödel, il diretto interessato, e agli altri intervenuti..

(2) Si calcola l’incalcolabilità di tutti i numeri assumendo che per ogni n è possibile n+1.

(3) Con tale formalità vengono tralasciate, al fine della risoluzione del problema, le logiche paraconsistenti come la logica fuzzy. Il “né vero né falso”, infatti, non è una via di mezzo fra ciò che è “vero” o “falso”, bensì, sotto l’egida del principio del terzo escluso: una cosa è “vera o falsa” o “né vera né falsa”. Ove il né vero né falso non risponde letteralmente a ciò che è un po’ vero e un po’ falso (es. fuzzy logic) poiché privo internamente di questi ultimi caratteri; come sviluppiamo nel corso di questo saggio.

(4) L’affermazione “il quadrato è rotondo” è impossibile solo affermandolo, mentre negandolo esso non si contraddice. Invece l’affermazione “questa frase è falsa” è impossibile all’infinito, in quanto si contraddice sia affermandosi che negandosi.

(5) Già Tarski parlava di due differenti adeguatezze dei concetti, di tipo, appunto, materiale e formale.

(6) Es. “Io non mi chiamo Vito” espressa da me, è una frase formalmente coerente ma concretamente falsa, è cioè senza coerenza con l’oggetto di cui parla.

(7) Al di fuori della forma sintattica qui in esposizione, un esempio di forma semantica è la “semantica tarskiana” la quale, appunto, mira a preservare la verità; ove un enunciato è vero se descrive come stanno le cose: se sedia è un elemento e “Rosso” un insieme, allora è vero che s è R se e solo se s appartiene ad R.

(8) A questo livello di analisi rimane del tutto indifferente che si tratti di oggetti indipendenti dall’umanità o da questa dipendenti o, ancora, sociali o quant’altro.

(9) Qui il Referenziale (es. commestibile) falsifica la propria natura riferendosi a se stesso come fosse un Autoreferenziale: R=¬R (dove R=A ∧ A=¬R).

(10) Qui l’Autoreferenziale falsifica la propria natura negando di essere ciò che è (es. “questa frase è falsa” ≡ “questa frase non è una frase”): A≠A.

(11) Un po’ meno evidente è la possibilità di questa congettura, sul paradosso di Grelling: quando un referenziale o autoreferenziale falsifica la propria natura, ognuno nel modo che gli è proprio, essi sono né veri né falsi. “I modi che li sono propri” sono riportati nelle note 24 e 25.

(12) Secondo teorema d’incompletezza: Gödel afferma l’impossibilità da parte di una teoria di dimostrarsi coerente attraverso i soli propri assiomi. Ciò accadeva per la mancanza del nostro sistema formale in “introduzione” e di questo schema referenziale.

(13) Primo teorema d’incompletezza: Gödel afferma che se la coerenza del sistema implica l’indecidibilità di qualcosa, allora è sintatticamente incompleta. Ciò accadeva per la mancanza del nostro linguaggio soggetto in completamento al linguaggio oggetto (schema referenziale), in cui anche gli indecidibili si dimostrano veramente tali e quindi, coi loro buchi formali circolarmente contraddittori, completano la verità sintattica del sistema.

(14) La chiamo “forma di completezza” perché elenca alla sinistra della relazione di appartenenza “∈” tutti gli elementi “α,¬” del sistema “ω” (posto a destra della relazione stessa). Da tale completezza ne segue la possibilità di combinare tutti gli elementi α,¬,… nelle più bizzarre forme linguistiche, ottenendo perfino enunciati mal formati o falsi; per esempio: è vero! Questa frase è falsa: (α(δ)(¬ω)).

(15) Questa formalità si rifà alla logica-matematica α(β) ↔ α={β} presentata nel mio libro Mondo. Strutture portanti. Dio, conoscenza ed essere, pp. 115-119. Dimostrazione: nella forma di coerenza δ(α) ∨ ¬δ(α) ∈ ω, l’enunciato α predica () la propria dimostrazione δ o indimostrabilità ¬δ. Applicando la formula δ(α) ↔ δ={α}, la dimostrazione δ è l’insieme {} degli enunciati α e negazioni ¬, ovvero, l’enunciato α e negazione ¬ appartengono ∈ alla dimostrazione δ. Quindi la prima parte della forma di coerenza δ(α) ∨ ¬δ(α) può trasformarsi in α,¬ ∈ δ . Ed essendo δ una parte ∈ di ω, quindi ω insieme {} di δ, quindi δ predica () il sistema ω, allora la seconda parte della forma di coerenza ∈ ω può trasformarsi in ∈ ω(δ). Se ne conclude che la forma di coerenza δ(α) ∨ ¬δ(α) ∈ ω può trasformarsi nella forma di completezza α,¬ ∈ ω(δ).

(16) Formalizzazione: 1(α1) = 1(1∨0) ↔ (1∨0 ∈ 1). A parole: la verità o falsità dell’enunciato appartengono alla verità del sistema. Regola: se è vero che questa frase “1 ∈ 1” è falsa perché formalmente incoerente, allora, davanti alla domanda aut aut “(1∨0)∈1?” si ha come risposta di verità 1(0), cioè: 1(1∨0) → 1(0) dato che la verità oggettuale “1” della formula “1∨0” coincide con la verità teorematica “1” della formula “1(…)”, cioè 1=1. Conclusione: Si parla di una verità dell’oggetto perfettamente corrispondente alla verità del sistema e di una falsità dell’oggetto che, per essere tale, predica implicitamente la verità del sistema per cui è falsità.

(17) Formalizzazione: 1(α0) = 1(¬1∧¬0) ↔ ¬1∧¬0 ∈ 1. A parole: la non-verità e non-falsità dell’enunciato appartengono alla verità del sistema. Regola: se è vero che questa frase “1∧0” è falsa perché formalmente incoerente, allora 1∧0 ∈ 0 che significa ugualmente che ¬1∧¬0 ∈ 1. Conclusione: Si parla di non verità e non falsità dell’oggetto che per essere tale predica implicitamente la verità del sistema.

(18) Al fine di formalizzare gli indecidibili, Hofstadter allude a un nuovo insieme di numeri chiamato “soprannaturale”. Qui invece si parla di una verità teorematica non ricorsiva entro cui riconoscere, appunto, i decidibili e gli indecidibili: 1(α1∧α0).

(19) Formalizzazione: 1(α1∧α0) → α,1∨0,¬1∧¬0 ∈ 1. A parole: l’enunciato, il valore di verità e il non valore di verità, appartengono alla verità del sistema.

(20) Si evince la necessità di una mirata e ampia profondità filosofica per trattare il Primus al fine di risolvere completamente il “colpo di pistola” per il quale da un semplice si dà la complessità del mondo. Chiaramente qui lo spazio è riservato a un altro genere di profondità, talché l’argomento in questione viene tralasciato per lidi più adeguati.

(21) In matematica il principio d’induzione è il termine tecnico per un ragionamento ereditario.

Bibliografia finale

R. Bruni, Profili. Kurt Gödel, in «APhEx. Portale italiano di filosofia analitica», 16 gennaio 2013.

V. Ceravolo, Mondo. Strutture portanti. Dio, conoscenza ed essere, ed. Il Prato, Padova 2016.

K. Gödel, Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications, in Id., Collected Works, Oxford University Press, Oxford 1951.

K. Gödel, Su completezza e coerenza, in Id., Opere, Bollati Boringhieri, Torino 1999a.

K. Gödel, Sulle proposizioni indecidibili dei sistemi matematici formali, in Id., Opere, Bollati Boringhieri, Torino 1999b.

D.R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante, Adelphi, Milano 1984.

G. Lolli, Incompletezza. Saggio su Kurt Gödel, il Mulino, Bologna 1992.

R. Poli, Ontologia formale, Marietti, Genova 1992.

* Vito J. Ceravolo, classe 1978, è ricercatore indipendente. Autore di Mondo. Strutture portanti. Dio, conoscenza ed essere, ed. Il Prato, Collana Cento Talleri, Saonara (PD) dicembre 2016, secondo al Premio Nazionale di Filosofia 2017 (Certaldo); Verità. Unione fra realismo e costruttivismo, in «Azioni Parallele» 03 febbraio 2017.

[Clicca qui per il PDF]

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